Anders er utdannet ved Agder musikkonservatorium og Norges musikkhøgskole med avhandlingen «Stiltrekk som skiller den nordiske jazzen fra den afro-amerikanske».
Han har ledet Anders Aarum Trio til debutplaten Lucky strike (Hot Club Records med Mats Eilertsen på bass og Torstein Ellingsen på trommer. Hans andre trio var Absence in mind (2004), der Thomas Strønen hadde erstattet Ellingsen. Derpå ga trioen ut First communion (2006).
Aarum har bandet Fossum-Aarum Quartet sammen med brødrene Håvard (sax og fløyte) og Jens Fossum (bass). Jarle Vespestad spiller trommer. Fossum-Aarum Quartet ble i 2007 nominert til Spellemannpris i jazz-klassen for debutplaten F.A.Q.
Aarum er også fast pianist i Funky Butt. Ellers har han medvirket på utgivelser med Per Høglend, Randi Tytingvåg, Sølvi Hansen, Ola Kvernberg, Majken Christiansen, Tine Asmundsen, Sigurd Køhn, Sonny Simmons, Børre Dalhaug, Hilde Louise Asbjørnsen, Jazzmob, Nora Brockstedt og Even Skatrud Andersen.
Aarum har mottatt No-fear prisen fra Oslo Jazzradio og er tilknyttet Norges musikkhøgskole som timelærer i akkompagnement.